Sistemas númericos

Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números.

Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotamia se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10.

Numeración Arábiga

El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.

Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn) * A

donde:

b = valor de la base del sistema

n = número del dígito o posición del mismo

A = dígito.

Valores posicionales

La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.

Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.

Sistema binario

El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.

Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.

El número 10100101 se puede traducir a base 10 como:

10100101 = (1*2^7)+(0*2^6)+(1*2^5)+(0*2^4)+(0*2^3)+(1*2^2)+(0*2^1)+(1*2^0).

O lo que es lo mismo: 10100101 (base 2) = 128+0+32+0+0+4+0+1 (base 10) = 165 (base 10)

El número AF34h se puede traducir a base 10 como:

AF34 (base 16) = (10*16^3)+(15*16^2)+(3*16^1)+(4*16^0) (base 10).

O lo que es lo mismo: AF34 = (10*4096)+(15*256)+(3*16)+4 = 40960+3840+48+4 = 44852

* Cambio de base 2 a base 16.

100100100101100b = 100 1001 0010 1100 = 492C en base 16. (4) (9) (2) (C)

* Cambio de base 16 a base 2.

492Ch = 0100 1001 0010 1100 = 100100100101100 en base 2.

* Cambio de base 16 a base 10.

492Ch = (4*16^3)+(9*16^2)+(2*16^1)+(12*16^0)= = (4*4096)+(9*256)+(2*16)+(12) = = 16384+2304+32+12 = 18732 en base 10.

Complemento a r

o Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos se define el complemento r de N como:

n rn-N para N ¹ 0 y 0 para N = 0

Complemento a r-1

o Dado un número positivo N en base r con una parte entera de n dígitos y una fraccionaria de m dígitos, se define el complementote (r-1) de N como:

rn-r-m-N

Complemento de números binarios

o Se tienen varias maneras para obtener el complemento de un número binario:

o Obtener el complemento utilizando las definiciones de complemento a r y r-1

C2 (101100)2 = (26)10 – (101100)2 =

(1000000 – 101100)2 = 010100

C1(101100)2 = (26 – 20)10 – (101100)2

= (111111 – 101100)2 = 010011

o Otra manera es utilizando las siguientes definiciones:

o C1(N) = N’

o C2(N) = N’ + 1

o Una tercer manera de obtener el complemento a dos es:

o Invertir los bits más significativos a partir del 1 menos significativo

o El resto de los bits, incluyendo el 1 menos significativo permanecen igual

Resta con complementos

o Resta con complemento a (r) (M-N)

o Sumar el minuendo M al Cr del sustraendo N

o Verificar si existe un acarreo final:

n Si existe, descartar

n Si no existe un acarreo final, se toma el complemento de r del número obtenido y se coloca un signo negativo

o Resta con complemento a (r-1) (M-N)

o Sumar al minuendo M el complemento (r-1) del sustraendo N

o Verificar la existencia del acarreo final

n Si existe acarreo, se agrega 1 al dígito menos significativo

n Si no existe acarreo, se obtiene el complemento (r-1) del resultado y se coloca un signo (-)

Métodos de representación

o Existen varias maneras de representar valores enteros, tanto positivos como negativos

o Las más utilizadas son:

n Notación en complemento a dos

n Notación en complemento a 2

n Sistema más utilizado para representar enteros

n Cuenta con un número determinado de bits

n El bit más significativo representa el signo positivo (0) o negativo (1)

n Notación en exceso

o Al tener que utilizar un bit para el signo y tener un número fijo de bits, se presenta el problema del desborde.

o Ejemplo: No se puede representar el 8, utilizando 4 bits.

o 8 = 1000, pero el bit más significativo es el signo, en este caso 1000 en C2 representa el -8

o Notación en exceso

n Método común para representar enteros

n Utiliza patrones de bits de la misma longitud

n Para obtener el exceso en “n” se debe sumar “n” al valor que se tiene

Aritmético - lógicas

o Operaciones aritméticas básicas

o Operaciones lógicas

n AND

n OR

n NOT

n OR EXCLUSIVO

o Corrimientos

n Desplazamientos

Rotaciones