En el capítulo anterior se resolvieron problemas que dependiendo del número de términos que tenía la función canónica, el número de compuertas lógicas utilizadas es igual al número de términos obtenidos MAS UNO, por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles con un tiempo mínimo de retardo, pero que de ninguna manera es el más sencillo ni el más económico.
El objetivo de este capítulo es dar a conocer la mayoría de los métodos utilizados para minimizar funciones canónicas y así poder construir un circuito con menor número de compuertas.
Los métodos utilizados para la minimización de funciones Booleanas son: El algebraico, para lo cual se utilizan los postulados y teoremas del álgebra de Boole y el método gráfico de Karnaugh.
2.1 Minimización por mapas de Karnaugh.
Los mapas de Karnaugh es uno de los métodos más prácticos. Se puede decir que es el más poderoso, cuando el número de variables de entrada es menor o igual a seis; más allá, ya no es tan práctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma gráfica de una tabla de verdad, o como una extensión del diagrama de Venn.
Antes de explicar como se utiliza el mapa de Karnaugh en la minimización de funciones, veremos como se obtiene el mapa. Esto nace de la representación geométrica de los números binarios. Un número binario de n bits, puede representarse por lo que se denomina un punto en un espacio N. Para entender lo que se quiere decir con esto, considérese el conjunto de los números binarios de un bit, es decir, 0 y 1. Este conjunto puede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unidos por una línea. Tal representación se denomina un cubo 1.
De la Figura 2.1 se observa que el cubo 1 se obtuvo proyectando al cubo 0 y que el cubo 2 se obtendrá proyectando al cubo 1.
De la Figura 2.2.(a), se observa que al reflejarse el cubo 1 se obtiene un cuadrilátero cuyos vérticesrepresentan un número binario. Estos números se obtienen al agregar un 0 a la izquierda de los vértices del cubo que se refleja y un 1 a la izquierda de los vértices del cubo reflejado. Del cubo 2 se observa que se obtienen cuatro vértices, los cuales corresponden a la combinación de dos variables (22=4), pero si se sigue la trayectoria indicada en la Figura 2.2.(b), se podrá observar que al pasar de un vértice al otro, existe un solo cambio, lo que da lugar a un código especial, debido a que no sigue la formación del código binario.
Más adelante le daremos un nombre a este código.
Ahora, si a cada vértice del cubo 2 se le asigna un casillero, se tendrá la siguiente Figura 2.3.
De la Figura 2.3.(b), si proyectamos el cubo 2, obtendremos el cubo 3, el cual se muestra en la Figura 2.4.
De la Figura 2.4.(4b), si seguimos la trayecto ria marcada por las flechas, obtendremos la tabla de la Figura 2.4.(c), en donde de un carácter a otro existe un solo cambio; otra característica de la tabla, es el reflejo que existe entre los caracteres 1-2 y 5-6 de la columna C y el reflejo entre los caracteres 2-3-4 -5 en la columna B. El reflejo que existe siempre es con respecto al eje central de simetría.
Ahora que tenemos el cubo 3, podemos obtener la representación en la forma de la Figura 2.3.(a), (b) y (c), lo cual se logra haciendo un corte al cubo 3, como se muestra en la Figura 2.5.
El levantamiento del cubo 3, a partir de la Figura 2.5, se muestra en la Figura 2.6.
Ahora, si asignamos una área a cada punto, como se muestra en la Figura 2.7, se obtendrá la representación que se denomina mapa del cubo N, que en este caso fue desarrollado para un cubo 3.
Como se tienen ocho casilleros, éstos corresponden a la combinación de tres variables, las cuales pueden ser A, B y C, siendo A la más significativa y C la menos significativa, por lo que la tabla funcional para la primera tabla corresponde al código binario y la otra corresponde al código especial, que en realidad de conoce como código de GRAY o código reflejado. Como veremos, ambos códigos están implícitos en el mapa de Karnaugh.
Si observamos el mapa de la Figura 2.8.(d), cada casillero tiene asignado un número, el cual corresponde a un número del código binario. De la misma figura pero del inciso (e), si seguimos la trayectoria marcada por las flechas, cada número representa a un carácter del código Gray. En la tabla anterior, se muestran las tablas de cada uno de los códigos mencionados.
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